Текст реферата: страница 3
улой. В таком случае её отрицание выполнимо на некотором поле. Так как также удовлетворяет условиям теоремы, то найдётся поле, содержащее не более элементов, на котором формула выполнима. Следовательно, U не может быть истинной на этом поле, что противоречит условию. Итак, предположение, что U не является тождественно истинной, приводит к противоречию, что и требовалось доказать.
§2. Практика по решению проблемы разрешимости формул,
содержащих предикаты от одного переменного
Доказанная (в предыдущем параграфе) теорема позволяет решать проблему разрешимости для формул, содержащих только предикаты, зависящие от одного переменного. Из следствия видно, что для того, чтобы установить, является ли формула U тождественно истинной или нет, достаточно проверить, является ли она тождественно истинной для всякого поля, содержащего не более чем элементов.
Заметим, что достаточно проверить, является ли данная формула U тождественно истинной на поле, состоящем ровно из элементов. Это следует из того, что для формул рассматриваемого типа имеет место следующее: если формула U тождественно истинна на некотором поле, то она тождественно истинна на всякой его части.
Рассмотрим произвольное поле, содержащее ровно элементов: , , ..., . Легко видеть, что всякая формула, имеющая вид:
("x) B(x),
отнесённая к данному полю, равносильна формуле
B() & B() & ... & B().
А формула, имеющая вид:
(x) B(x),
равносильна формуле
B() B() ... B().
В таком случае произвольная формула U, отнесённая к полю {, ..., }, равносильна формуле , в которой все кванторы заменены операциями логического произведения и логической суммы. Если в U входили только предикаты A1, ..., An, зависящие от одного переменного, то представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями Ai(xj), 1 ? i ? n, 1 ? j ? . Так как предикаты Ai(x) совершенно произвольны, то выражения Ai(xj) представляют собой совершенно произвольные высказывания. Формулу тогда можно рассматривать как формулу алгебры высказываний, у которой Ai(xj) являются элементарными переменными высказываниями. Тогда вопрос о тождественной истинности U на поле , , ..., оказывается эквивалентным вопросу о тождественной истинности , как формулы алгебры высказываний с переменными высказываниями Ai(xj).
Заметим, что формула алгебра высказываний по существу не зависит от того, каковы элементы поля {, ..., }, а зависит только от их числа, так как если мы возьмём другое поле {ў, ..., ў}, то в произойдёт только перемена обозначений переменных высказываний Ai(xj) на Ai(xjў). В силу этого мы можем сказать, что если тождественно истинна, как формула алгебры высказываний, то формула U тождественно истинна на любом поле из p элементов, и обратно. С другой стороны, был получен конструктивный способ определять – является произвольная формула алгебры высказываний тождественно истинной или нет. Применяя этот критерий, мы можем установить, будет ли произвольная формула U, содержащая только предикаты от одного переменного, тождественно истинной на любом поле, содержащем p = элементов. В таком случае в силу высказанного выше положения мы можем решить также и вопрос о том, будет формула U тождественно истинной или нет.
Разберём это конкретно на примерах.
П Р И М Е Р 1: Итак, пусть дана формула U, имеющая вид:
("x)[P(x)( P(x))],
отнесённая к некоторому полю L. Для того, чтобы установить тождественную истинность этой формулы, нам достаточно проверить, является ли она тождественно истинной на поле, содержащем ровно элементов (см. выше). В данном случае число предикатов (n) равно 2, т.е. L может быть представлено как { a1, a2, a3, a4 }.
Легко видеть, что формула U равносильна: ("x)[P(x)(Q(x)P(x))], которая, отнесённая к полю L, равносильна : [P()(Q()P())] [P()(Q()P())] [P()(Q()P())] [P()(Q() P())].
Таким образом, представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями P() и Q(), где i=, т.е. её можно рассматривать как формулу алгебры высказываний, у которой P() и Q() являются элементарными переменными высказываниями. Значит, ответив на вопрос о тождественной истинности , мы сможем сказать, является ли формула U тождественно истинной или нет.
является тождественно истинной в алгебре высказываний U также тождественно истинная формула на поле, содержащем элементов. Это оэначает, что U тождественно истинна.
П Р И М Е Р 2: Доказать, что формула U, отнесённая к некоторому полю L, представленная как
[("х)( Q(x)) P(x)],
является тождественно истинной.
Для этого она должна быть тождественно истинной на поле, содержащем ровно элементов. В данном случае n = 2, т.е. L можно опять определить как { a1, a2, a3, a4 }.
Применяя равносильные преобразования над U, можем заключить её равносильность формуле: ($х)[(Q(x))P(x)], которая, отнесённая к полю L, равносильна : [(Q())P()] [(Q())P()] [(Q())P()] [(Q())P()].
Легко видеть, что , как и в предыдущем примере, представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями P() и Q(), где i=, а поэтому её можно отнести к формулам алгебры высказываний, у которой P() и Q() являются элементарными переменными высказываниями. Является ли формула тождественно истинной?
Формула представляет собой дизъюнкции некоторых формул. Поэтому всякий раз, когда одна из них истинна, сама (по определению дизъюнкции) будет тождественно истинной. Составим таблицу истинности:
P
Q
Q
(Q)P
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
Таким образом, формула (Q)P является выполнимой, следовательно, является тождественно истинной формулой в алгебре высказываний U также тождественно истинная формула на поле, содержащем элементов. Это означает, что U тождественно истинна.
§3. Поиск доказательств в натуральном интуиционистском исчислении предикатов с e-символом и предикатом существования
Существуют два типа систем натурального вывода: с прямым и непрямым правилом удаления квантора существования. Прямое правило удаления квантора существования по существу формулируется с использованием языка с эпсилон-символом. Классическое исчисление предикатов с прямым правилом удаления квантора существования элегантно и является хорошей основой для организации систематической процедуры поиска доказательств. Мною была предложена процедура поиска доказательств для классического исчисления предикатов с прямым правилом удаления квантора существования [7]. А.В. Смирнов и А.Е. Новодворский [3] реализовали ее на компьютере. Хотелось бы построить интуиционистское исчисление предикатов с прямым правилом удаления квантора существования и на этой основе сформулировать алгоритм поиска доказательств. Однако на этом пути мы встречаемся с определенными трудностями. Если мы заменим классические пропозициональные правила интуиционистскими, то в результате получим логическую систему, более богатую, нежели интуиционистское исчисление предикатов. Действительно, допустим, что имеет место $xA(x). По правилу удаления квантора существования получим A(exA(x)). По правилу введения импликации будем иметь $xA(x)ЙA(exA(x)). Из последней формулы по правилу введения квантора существования получаем $y($xA(x)ЙA(y)). Запишем этот вывод формально
1 $xA(x) допущение
2 A(exA(x)) $у; 1
3 $xA(x)Й A(exA(x)) Йв; 1-2
4 $y($xA(x)Й A(y) $в; 3
Но как хорошо известно, последняя формула не доказуема интуиционистски. Аналогично в этой системе может быть доказан принцип конструктивного подбора Маркова
Где в этих доказательствах неинтуиционистские шаги? Ответ, видимо, неоднозначен. В книге [5] я предлагал наложить ограничения на непрямые правила вывода: потребовать, чтобы e-термы не входили в устраняемые допущения и заключение. Однако это ограничение слишком стеснительно и неэлегантно. А.Г. Драгалин [1], а затем Д. Скотт ввели другое ограничение: в правилах введения квантора существования и удаления квантора общности мы должны потребовать, чтобы вводимый или исключаемый терм был не пуст. Это более изящное решение проблемы. В настоящей статье я предлагаю формулировку интуиционистского исчисления предикатов с e-символом и предикатом существования в виде субординатного вывода. Затем обсуждается проблема систематического поиска выводов в этом исчислении.
Язык интуиционистского натурального исчисления с e-символом NeI строится с помощью двух типов индивидных переменных: свободных - v,v1,v2,... и связанных - x,y,z,. . ., x1, x2, . . ., предикатных знаков, логических связок &,Ъ,Й,Ш, знака абсурдности ^, предиката существования E, кванторов " и $, e-символа, скобок и запятой. Одновременной индукцией определяем понятия квазитерма и квазиформулы. Термами и формулами являются квазитермы и кваиформулы, не содержащие свободных вхождений связанных переменных. Под подстановкой вместо свободной переменной v квазитерма t в квазиформулу или квазитерм имеется в виду замещение каждого вхождения свободной переменной v в квазитерм или квазиформулу квазитермом t. Подстановку будем обозначать Fv/t A и Fv/t t1. Подстановка правильна, если ни одна связанная переменная, имеющая свободные вхождения в t не находится в области действия кванторов или e-оператора по этой переменной. Ниже мы будем иметь дело только с правильными подстановками. Отметим, что каждая подстановка терма правильна. Каждую формулу, начинающуюся с квантора мы можем представить в виде "xFv/xA и $xFv/xA. Следуя Гильберту и Бернайсу, будем говорить, что терм t1 вложен в терм t2, если t2 имеет вид Fv/t1 t3, где подстановка, естественно, правильна. Например, терм exD(x) вложен в терм eyA(exD(x), y). Квазитерм exB(x,y) подчинен квазитерму eyA(y,exB(x,y)),т.е. первый квазитерм имеет свободные вхождения связанной переменной, по которой образован второй терм. В дальнейшем мы будем иметь дело с выводами, посылки и заключение которых не будут содержать e-термов. Поэтому в NeI в выводы не будут входить формулы с подчиненными друг другу квазитермами.
Вывод имеет вид субординатного вывода, при этом каждый вспомогательный вывод будет иметь не более одного допущения. Определим, что мы будем понимать под субординатной последовательностью формул (c-последовательность), вхождением в нее формулы и ее последней формулой:
1. Пустая последовательность есть с-последовательность, она не имеет последней формулы и ни одна формула не входит в нее.
2. Если A формула, то A есть последовательность формул, A есть последняя формула и формула A входит в нее.
3. Если a есть с-последовательность и A формула, то
a
A есть с-последовательность, A её последняя формула и формула B входит в нее, если она входит в a или графически равна A.
4. Если a, b и g суть с-последовательности формул и A формула, то
a a
b и b суть с-последовательности, A их
A g
A
последняя формула и формула B входит в них, если она входит в a или графически равна A.
Будем говорить, что формула C непосредственно выводима из формулы A (A и B), если
есть одно из правил прямого вывода; формула C непосредственно выводима из пустого множества формул, если C есть аксиома, т.е. имеет место правило .
Теперь введем понятие натурального вывода для системы NeI.
1. A есть вывод из последовательности посылок A, A входит в A и A есть его последняя формула.
2. Если A есть аксиома, то A есть вывод из пустой последовательности посылок, A есть его последняя формула и входит в вывод.
3. Если a есть вывод из последовательности посылок G и A посылка, то
есть вывод из последовательности посылок GA, A есть его последняя формула и формула B входит в вывод, если B входит в a или графически равно формуле A.
4. Если a есть вывод из последовательности посылок G, формула C непосредственно выводима из формул, входящих в a ( или является аксиомой), то
есть вывод из последовательности посылок G, C его последняя формула и B входит в вывод, если оно входит в a или графически равно C. На применение правила введения квантора общности накладываем ограничение: если a есть вывод из последовательности посылок G, формула A(w) входит в вывод a, но в формулы из G не входит собственная переменная w, то
a
"xFw/x A(w)
есть вывод из последовательности посылок G.
5. Если a есть вывод из последовательности посылок G и b есть вывод из посылок D,A и все формулы из D входят в a, B есть последняя формула, то
есть вывод из посылок G и AЙB есть его последняя формула.
6. Если a есть вывод из посылок G, b есть вывод из посылок D1,A и g есть вывод из посылок D2,B,формулы D1 и D2 входят в a, формула C есть последняя формула b и g, то
есть вывод из посылок G и C есть его последняя формула.
7. Если a есть вывод из последовательности посылок G,A и ^ есть его последняя формула, то
есть вывод из посылок G и ШA есть его последняя формула.
Чтобы определение вывода NeC было полным необходимо сформулировать прямые правила вывода. Прежде всего есть правило тождественного перехода: из A выводима A, обозначим его буквой I. Остальные правила вывода подразделяются на правила введения и удаления логических констант. В приводимой ниже таблице правил вывода мы для полноты записываем и непрямые правила (хотя они сформулированы в определении вывода).
Кроме основных будем использовать в качестве официальных также два производных правила Йе1 и Йi2:
и
Теперь перейдем к процедуре писка вывода. Поиск начинается с формулировки задачи: из посылок A1,...,An требуется вывести формулу В. Мы исходим из допущения, что ни посылки, ни заключение не содержат e-символов и предиката существования. Не нарушая общности можно также допустить, что они не содержат свободных переменных. Задача поиска вывода записывается в виде
Это, естественно, не вывод. Построение ( поиск ) вывода совершается с помощью двух типов шагов: синтетических и аналитических. Синтетический шаг состоит в применении некоторого прямого правила вывода. Аналитический шаг сводит задачу к подзадачам.
Сформулируем аналитические и синтетические правила поиска вывода для импликации. Задача вывода формулы AЙB из некоторой последовательности посылок сводится к подзадаче построения вывода формулы B из того же множества посылок и дополнительного допущения A. Это аналитическое правило введения импликации. Мы его запишем в виде
где n наибольший номер в первоначальной задаче. В анализе указаны официальные правила вывода (не правила поиска вывода). Аналитическое правило удаления импликации состоит в сведении задачи вывода формулы C из формулы AЙB, стоящей выше знака выводимости, к двум подзадачам: выводу формулы A из прежних посылок и выводу формулы C из прежних посылок и формулы B. Символически
Синтетическое правило удаления импликации разрешает написатьвыше знака выводимости формулу B, если формулы A и AЙB входят в фигуру заключения выше знака выводимости:
Для симметрии можно сформулировать и синтетическое правило введения импликации: если в фигуру выше знака выводимости входит формула A, то непосредственно над знаком выводимости можно написать формулу BЙA. Однако формулу B надо указать дополнительно. Символически
Если в фигуру поиска вывода выше знака выводимости входит формула A и A стоит ниже знака выводимости, то знак выводимости выбрасывается - это правило исключения знака выводимости
Если A стоит непосредственно над |-, то нижнее вхождение A и знак выводимости опускаются.
Специфически интуиционистскими являются аналитические правила удаления импликации, введение дизъюнкции, правило добавления заключения (вместо классического аналитического правила удаления отрицания), а также правила для кванторов и, естественно, правило для предиката существования. При формулировке кванторных правил используются временные переменные, e -термы и свободные переменные. К сожалению, мы не можем обойтись без свободных переменных и сформулировать правило введения квантора общности в виде
если A(exщA(x)), то "xA(x).
Помимо перечисленных в таблице правил поиска вывода, имеются также два правила удаления знака ъ-:
,
правило введения произвольной формулы
и, наконец, правило глобальной подстановки вместо временных переменных термов: во всем дереве поиска вывода разрешается заменить все вхождения временной переменной на терм.
В отличие от классической логики интуиционистские правила не обратимы. Поэтому не безразличен порядок применения правил поиска вывода. Например, пусть требуется из AЪB вывести BЪA. Если мы начнем решать задачу, применив сначала аналитическое правило введения дизъюнкции, то мы придем в тупик и не решим решаемую задачу. Однако задача последовательности применения правил поиска вывода решаема. По существу система аналитических правил есть иная формулировка логистического секвенциального исчисления. С.К. Клини [2] исследовал проблему перестановочности применений логических правил для интуиционистской логики. Опираясь на его результаты, мы можем разбить правила на следующие группы:
1.Правила удаления |- ;
2.Синтетические правила и аналитические правила введения конъюнкции, импликации, отрицания, квантора общности, аналитическое правило удаления дизъюнкции;
3.Аналитическое правило введения квантора существования;
4.Аналитические правила удаления импликации и отрицания;
5.Аналитическое правило введения дизъюнкции;
6.Правило введения произвольной формулы.
В каждом вспомогательном выводе отдается предпочтение правилам группы с меньшим номером. Если порядок применения правил нарушается, то поиск вывода может не дать искомого результата.
В отличие от классической логики, для поиска выводов в которой имеется одна фигура, в предложенной системе поиска для интуиционистской логики имеется правила “или”-ветвления. Это требует разработки новых программных средств по сравнению с классической логикой
ЛИТЕРАТУРА:
1. Асмус В. Ф. Проблема интуиции в философии и математике. — М.: Мысль, 1965.
2. Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.
3. Овчаров А. А. Интуиция в модальной логике. — Кемерово: Кузбассвузиздат, 1997.
4. Овчаров А. А. Введение в идеал-реалистическую теорию интуицию. Логика социальных изоморфов. — Кемерово: Кузбассвузиздат, 1999.
5. Целищев В. В., Карпович В. Н., Поляков И. В. Логика и язык научной теории. — Новосибирск: Наука, 1982.
