Текст реферата: страница 1
Вопросы по теории вероятностей
1. +Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина.
2. +Сумма и произведение событий, теоремы сложения и умножения вероятностей.
3. +Дискретные случайные величины. Ряд, многоугольник и функция распределения.
4. +Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения.
5. +Функция распределения; квантиль и а -процентная точка распределения.
6. +Формула полной вероятности и теорема гипотез.
7. +Числовые характеристики случайных величин: моменты; дисперсия; и среднеквадратичное отклонение.-
8. +Равномерное распределение, его числовые характеристики.
9. +Биномиальное распределение, распределение Пуассона.
10. +Нормальное (Гаусовское) распределение, стандартные нормальные распределения.Стандартная нормальная случайная величина.
11. +Независимые и зависимые случайные величины: ковариация, корреляция, коэффициент корреляции.
12. +Теоремы о числовых характеристиках.
13. +Закон больших чисел, неравенства и теоремы Чебышева, Бернулли.
14. +Центральная предельная теорема теории вероятностей.Выборки, объем выборки.Состоятельные, не смешенные и эффективные оценки; оценивание среднего значения и дисперсии.
15. +Доверительные интервалы.
* +Теорема о повторении опытов.Задача_1Задача_2Задача_3Задача_4Задача_5Задача_6Задача_7Задача_8Задача_9
Ответ на билет 1
X – случайная величина.
x – значение случайной величины.
- непрерывная случайная величина
Дискретная случайная величина – можно пересчитать.
Практически не возможное событие, вероятность которого близка к нулю 0 (0,01; 0,1).
Практически достоверное событие, вероятность которого близка к единице 1 (0,99; 0,9888).
5@=CBLAO к вопросам
Ответ на билет 2
Сумма событий и произведение событий.
А,В,….,G - события
Суммой событий называется некоторое событие S=A+B+….+G=AB….G, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Пример: Допустим идет стрельба по мишени
А1 - попадание при первом выстреле
А2 - попадание при втором выстреле
S=A1+A2 (хотя бы одно попадание)
Произведением некоторых событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. S=ABC…G=
Пример: А1 - промах при первом выстреле
А2 - промах при втором выстреле
А3 - промах при третьем выстреле
(не одного попадания)
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A) P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)
S=S1+S2+…+Sn
P(S)=P(S1)+P(S2)+…+P(Sn)
Следствие: Если событие S1, S2, …, Sn образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.
Противоположными событиями называются два не совместных события, образующие полную группу
. (пример - монетка имеющая орел и орешко)
Если два события A и B совместны, то вероятность совместного появления двух событий вычисляется по формуле:
Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B)
Условие зависимости события А от события В: P(A|B)P(A), P(B|A) P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно).
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место:
P(AB)=P(A)P(B|A), P(AB)=P(B)P(A|B)
Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
Пример: на монете выпадет орел 2 раза
S=AорAор S=P2(A)=(1/2)2=1/4
5@=CBLAO к вопросам
Ответ на билет 3
Закон распределения случайных величин
Ряд и многоугольник распределений. Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение не известное заранее какое.
Большие буквы - случайные величины. Малые буквы - их возможные решения.
Рассмотрим случайную дискретную величину Х с возможными значениями x1, x2, …, xn
В результате опыта :
Обозначим вероятность соответствующих событий через Pi
, так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то
Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим распределение вероятности pi(i=1,2…,n), то есть в точности указаны решения вероятности pi каждого события xi
Этим будет установлен закон случайной величины xi.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями.
Простейшей формой записи законов распределения является таблица:
X
x1, x2, …, xn
P
p1, p2, …, pn
Многоугольник и ряд распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм законов распределения. (Для непрерывной случайной величины построить невозможно).
5@=CBLAO к вопросам
Ответ на билет 4
Плотность и функция распределения.
Функция распределения непрерывной случайной величины (Х), задана выражением:
a) Найти коэффициент а
b) Найти плотность распределения F(x)
c) Найти вероятность попадания случайной величины на участок P(0,5
d) Построить график функций
F(4)=1 -> a4=1, a=0,25
- два способа решения.
5@=CBLAO к вопросам
Ответ на билет 5
Функция распределения
Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства Х=х используют вероятность Р(Х<х). F(x)=P(XF-функция распределения случайной величины х
F(x) -интегральный закон распределения или интегральная функция распределения.
F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных.
Основные свойства функции распределения.
1. Функция распределения F(x) есть не убывающая функция своего аргумента, т.е. при x2>x1 F(x2)>=F(x1)
2. При функция распределения F(x)=0; F()=0
3. При F(x)=1; F()=1
Для дискретной случайной величины:
Функция распределения любой дискретной случайной
величины всегда есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которых происходят в точках соответствующих
возможных значений случайных величин и равны
вероятностям этих значений. Сумма всех скачков
равна 1.
F(x) непрерывной случайной величины
Часто используют величины квантиль и -процентная точка
Квантиль - решение уравнения
- процентная точка определяется из уравнения
5@=CBLAO к вопросам
Ответ на билет 6
Формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий H1, H2, …, Hn, образующие полную группу не совместных событий. Эти события назовем гипотезами. Докажем, что в этом случае вероятность событий:
Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.
применяем 2е теоремы:
-формула полной вероятности
Теорема гипотез (формула Байеса).
Пусть вероятность полной группы не совместных гипотез H1, H2, …, Hn известны и равны P(H1), P(H2), …, P(Hn). Событие А может появиться совместно с условной вероятностью P(A|Hi) (i=1,2,…,n).
Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез после проведения опытов в связи с появлением этого события. Иными словами, требуется найти условную вероятность P(Hi,A).
Формула Байеса:
5@=CBLAO к вопросам
Ответ на билет 7
Числовые характеристики случайных величин.
Закон распределения случайных величин, представленный в той или иной форме, дает исчерпывающее описание случайной величины. Наиболее существенные особенности распределения в компактной форме описываются так называемыми числовыми характеристиками случайных величин. Они играют в теории вероятности огромную роль, с их помощью облегчается решение вероятностных задач. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся числовые характеристики.
Характеристики положения.
Мат. Ожидание Мода Медиана
Важнейшая характеристика математическое ожидание, которая показывает среднее значение случайной величины.
Математическое ожидание величины Х обозначается М[X], или mx.
Для дискретных случайных величин математическое ожидание:
Сумма значений соотв 
