Текст реферата: страница 2
именения состоит том, что определитель матрицы не равен нулю [6,7].
Схема Халецкого.
Пусть система линейных уравнений дана в матричном виде.
Ax=b (7)
Где А - квадратная матрица порядка n, а x,b - векторы столбцы.
Представим матрицу А в виде произведения нижней треугольной матрицы С и верхней треугольной матрицы В с единичной диагональю, т.е.
А=СВ,
Где
,
Причем элементы сij и bij определяются по формулам:
,
Уравнение (7) можно записать в следующем виде:
CBx=b. (9)
Произведение Bx матрицы B на вектор-столбец x является вектором-столбцом, который обозначим через y:
Bx=y. (10)
Тогда уравнение (9) перепишем в виде:
Cy=b. (11)
Здесь элементы сij известны, так как матрица А системы (7) считается уже разложенной на произведение двух треугольных матриц С и В.
Перемножив матрицы в левой части равенства (11), получаем систему уравнений из которой получаем следующие формулы для определения неизвестных:
неизвестные yi удобно вычислять вместе с элементами bij.
После того как все yi определены по формулам (12), подставляем их в уравнение (10).
Так как коэффициенты bij определены (8), то значения неизвестных, начиная с последнего, вычисляем по следующим формулам:
К прямым методам, использующим свойство разреженности А, можно отнести: алгоритм минимальной степени, алгоритм минимального дефицита, древовидное блочное разбиение для асимметричного разложения, методы вложенных или параллельных сечений и др.
Метод Гаусса.
Пусть дана система
Ax = b
где А – матрица размерности m x m.
В предположении, что , первое уравнение системы
,
делим на коэффициент , в результате получаем уравнение
Затем из каждого из остальных уравнений вычитается первое уравнение, умноженное на соответствующий коэффициент . В результате эти уравнения преобразуются к виду
первое неизвестное оказалось исключенным из всех уравнений, кроме первого. Далее в предположении, что , делим второе уравнение на коэффициент и исключаем неизвестное из всех уравнений, начиная со второго и т.д. В результате последовательного исключения неизвестных система уравнений преобразуется в систему уравнений с треугольной матрицей
Совокупность проведенных вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.
Из -го уравнения системы (2) определяем , из ()-го уравнения определяем и т.д. до . Совокупность таких вычислений называют обратным ходом метода Гаусса.
Реализация прямого метода Гаусса требует арифметических операций, а обратного - арифметических операций.
1.2 Итерационные методы решения СЛАУ
Метод итераций (метод последовательных приближений).
Приближенные методы решения систем линейных уравнений позволяют получать значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов. Процесс построения такой последовательности называется итерационным (повторяющимся).
Эффективность применения приближенных методов зависят от выбора начального вектора и быстроты сходимости процесса.
Рассмотрим метод итераций (метод последовательных приближений). Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
Ах=b, (14)
Предполагая, что диагональные элементы aii 0 (i = 2, ..., n), выразим xi через первое уравнение систем x2 - через второе уравнение и т. д. В результате получим систему, эквивалентную системе (14):
Обозначим ; , где i == 1, 2, ...,n; j == 1,2,..., n. Тогда система (15) запишется таким образом в матричной форме
Решим систему (16) методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов. Любое (k+1)-е приближение вычисляют по формуле
Если последовательность приближений x(0),...,x(k) имеет предел , то этот предел является решением системы (15), поскольку в силу свойства предела , т.е. [4,6].
Метод Зейделя.
Метод Зейделя представляет собой модификацию метода последовательных приближений. В методе Зейделя при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного xi (i>1) учитываются уже найденные ранее (k+1)-е приближения неизвестных xi-1.
Пусть дана линейная система, приведенная к нормальному виду:
(17)
Выбираем произвольно начальные приближения неизвестных и подставляем в первое уравнение системы (17). Полученное первое приближение подставляем во второе уравнение системы и так далее до последнего уравнения. Аналогично строим вторые, третьи и т.д. итерации.
Таким образом, предполагая, что k-е приближения известны, методом Зейделя строим (k+1)-е приближение по следующим формулам:
где k=0,1,...,n
Метод Ланцоша.
Для решения СЛАУ высокого порядка (1), матрица, коэффициентов которой хранится в компактном нижеописанном виде, наиболее удобным итерационным методом является метод Ланцоша [4], схема которого имеет вид:
(18)
где
Преимуществом данного метода является его высокая скорость сходимости к точному решению. Кроме того, доказано, что он обладает свойством «квадратичного окончания», т.е. для положительно определенной матрицы можно гарантировано получить точное решение при количестве итераций . Размер требуемой памяти на каждой итерации не изменяется, т.к. не требует преобразование матрицы . В качестве критерия остановки данного итерационного процесса обычно используют соотношение
, (19)
где - заданная точность. В качестве другого критерия сходимости иногда удобнее использовать среднеквадратичную разность между решениями, полученными на соседних итерациях:
(20)
Среднеквадратичную разность необходимо контролировать при выполнении каждых k наперед заданных итераций.
Отдельно следует рассмотреть проблему выбора начального приближения . Доказывается, что при положительно определенной матрице , итерационный процесс (18) всегда сходится при любом выборе начального приближения. При решении контактных задач, когда для уточнения граничных условий в зоне предполагаемого контакта требуется большое количество решений СЛАУ вида (1), в качестве начального приближения для первого расчета используется правая часть системы (1), а для каждого последующего пересчета - решение, полученное на предыдущем. Такая схема позволяет значительно сократить количество итераций, необходимых для достижения заданной точности (19) или (20) [10,11].
2 МЕТОДЫ КОМПАКТНОГО ХРАНЕНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
Матрица жесткости, получающаяся при применении МКЭ, обладает симметричной структурой, что позволяет в общем случае хранить только верхнюю треугольную часть матрицы. Однако для задач с большим количеством неизвестных это так же приводит к проблеме нехватки памяти. Предлагаемый в данной работе метод, позволяет хранить только ненулевые члены матрицы жесткости. Суть его заключается в следующем.
Первоначально, с целью выявления связей каждого узла с другими, производится анализ структуры дискретизации области на КЭ. Например, для КЭ - сетки, изображенной на рис. 1, соответствующая структура связей будет иметь вид:
№ узла
1
2
3
4
5
6
7
Связи
1, 2, 5, 6, 7
1, 2, 3, 6
2, 3, 4, 6
3, 4, 5, 6, 7
1, 4, 5, 7
1, 2, 3, 4, 6, 7
1, 4, 5, 6, 7
Тогда, для хранения матрицы жесткости необходимо построчно запоминать информацию о коэффициентах, соответствующих узлам, с которыми связан данный узел. На рис. 2 приведены матрица жесткости и ее компактное представление для сетки изображенной на рис 1 [9].
Текст подпрограммы, реализующий предложенный алгоритм анализа структуры КЭ-разбиения тела, приведен в Приложении 1.
Данный способ компактного хранения матрицы жесткости позволяет легко его использовать совместно с каким-нибудь численным методом. Наиболее удобным для этой цели представляется использование вышеизложенного итерационного метода Ланцоша, так как на каждой итерации требуется только перемножать матрицу коэффициентов СЛАУ и заданный вектор. Следовательно, для использования предложенного метода компактного хранения СЛАУ необходимо построить прямое и обратное преобразование в первоначальную квадратную матрицу.
Пусть – элемент первоначальной квадратной матрицы размерностью , а - ее компактное представление. Тогда для обратного преобразования будут справедливы следующие соотношения:
, (*)
где m – количество степеней свободы (m=1,2,3).
Для прямого преобразования будут справедливы соотношения, обратные к соотношениям (*).
3 ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
Для проверки предлагаемого метода компактного хранения матрицы жесткости была решена задача о контактном взаимодействии оболочечной конструкции и ложемента [12] (рис. 4).
Данная задача часто возникает на практике при транспортировке или хранении с горизонтальным расположением оси оболочечные конструкции устанавливаются на круговые опоры - ложементы. Взаимодействие подкрепленных оболочечных конструкций и ложементов осуществляется через опорные шпангоуты, протяженность которых вдоль оси оболочки соизмерима с шириной ложементов и много меньше радиуса оболочки и величины зоны контакта.
Данная задача решалась методом конечных элементов при помощи системы FORL [5]. Дискретная модель ложемента (в трехмерной постановке) представлена на Рис. 5.
При построении данной КЭ-модели было использовано 880 узлов и 2016 КЭ в форме тетраэдра. Полный размер матрицы жесткости для такой задачи составляет байт, что приблизительно равно 2,7 Мбайт оперативной памяти. Размер упакованного представления составил около 315 Кбайт.
Данная задача решалась на ЭВМ с процессором Pentium 166 и 32 МБ ОЗУ двумя способами – методом Гаусса и методом Ланцоша. Сопоставление результатов решения приведено в Таблице 1.
Таблица 1.
Время решения (сек)
Метод
Гаусса
280
2.2101
-2.4608
1.3756
-5.2501
1.7406
-2.3489
Метод Ланцоша
150
2.2137
-2.4669
1.3904
-5.2572
1.7433
-2.3883
Из Таблицы 1 легко видеть, что результаты решения СЛАУ методом Гаусса и методом Ланцоша хорошо согласуются между собой, при этом время решения вторым способом почти в два раза меньше, чем в случае использования метода Гаусса.
ВЫВОДЫ.
В данной работе были рассмотрены способы компактного хранения матрицы коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и методы ее решения. Разработан алгоритм компактного хранения матрицы жесткости, позволяющий в несколько раз (иногда более чем в десятки раз) сократить объем требуемой памяти для хранения такой матрицы жесткости.
Классические методы хранения, учитывающие симметричную и ленточную структуру матриц жесткости, возникающих при применении метода конечных элементов (МКЭ), как правило, не применимы при решении контактных задач, так как при их решении матрицы жесткости нескольких тел объединяются в одну общую матрицу, ширина ленты которой может стремиться к порядку системы.
Предложенная в работе методика компактного хранения матриц коэффициентов СЛАУ и использования метода Ланцоша позволили на примере решения контактных задач добиться существенной экономии процессорного времени и затрат оперативной памяти.
СПИСОК ССЫЛОК.
1. Зенкевич О., Морган К. Конечные методы и аппроксимация // М.: Мир, 1980
2. Зенкевич О., Метод конечных элементов // М.: Мир., 1975
3. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов // М.: Мир, 1977
4. Бахвалов Н.С.,Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы // М.: наука, 1987
5. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления // М.:Наука, 1984
6. Бахвалов Н.С. Численные методы // М.: Наука, 1975
7. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений // Новосибирск: Наука, 1980
8. Гоменюк С.И., Толок В.А. Инструментальная система анализа задач механики деформируемого твердого тела // Приднiпровський науковий вiсник – 1997. – №4.
9. F.G. Gustavson, “Some basic techniques for solving sparse matrix algorithms”, // editer by D.J. Rose and R.A.Willoughby, Plenum Press, New York, 1972
10. А.Джордж, Дж. Лиу, Численное решение больших разреженных систем уравнений // Москва, Мир, 1984
11. D.J. Rose, “A graph theoretic study of the numerical solution of sparse positive definite system of linear equations” // New York, Academic Press, 1972
12. Мосаковский В.И., Гудрамович В.С., Макеев Е.М., Контактные задачи теории оболочек и стержней // М.:”Машиностроение”, 1978
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Исходный текст программы, реализующий анализ структуры КЭ-разбиения объекта.
#include
#include
#include
#include
#include
#include "matrix.h"
#define BASE3D_4 4
#define BASE3D_8 8
#define BASE3D_10 10
const double Eps = 1.0E-10;
DWORD CurrentType = BASE3D_10;
void PrintHeader(void)
{
printf("Command format: AConvert - [/Options]\n");
printf("Switch: -t10 - Tetraedr(10)\n");
printf(" -c8 - Cube(8)\n");
printf(" -s4 - Shell(4)\n");
printf(" -s8 - Shell(8)\n\n");
printf("Optins: /8 - convert Tetraedr(10)->8*Tetraedr(4)\n");
printf(" /6 - convert Cube(8)->6*Tetraedr(4)\n");
}
bool Output(char* fname,Vector& x,Vector& y,Vector& z, Matrix& tr, DWORD n,
DWORD NumNewPoints,DWORD ntr,Matrix& Bounds,DWORD CountBn)
{
char* Label = "NTRout";
int type = CurrentType,
type1 = (type==BASE3D_4 || type==BASE3D_10) ? 3 : 4;
DWORD NewSize,
i,
j;
ofstream Out;
if (type==BASE3D_4) type1 = 3;
else if (type==BASE3D_8) type1 = 4;
else if (type==BASE3D_10) type1 = 6;
Out.open(fname,ios::out | ios:: binary);
if (Out.bad()) return true;
Out.write((const char*)Label,6 * sizeof(char));
if (Out.fail()) return true;
Out.write((const char*)&type,sizeof(int));
if (Out.fail()) return true;
Out.write((const char*)&CountBn,sizeof(DWORD));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
Out.write((const char*)&(NewSize = n + NumNewPoints),sizeof(DWORD));
if (Out.fail()) return true;
Out.write((const char*)&(NumNewPoints),sizeof(DWORD));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
for (DWORD i = 0; i < n; i++)
{
Out.write((const char*)&x[i],sizeof(double));
Out.write((const char*)&y[i],sizeof(double));
Out.write((const char*)&z[i],sizeof(double));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
}
for (i = 0; i < NumNewPoints; i++)
{
Out.write((const char*)&x[n + i],sizeof(double));
Out.write((const char*)&y[n + i],sizeof(double));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
}
Out.write((const char*)&(ntr),sizeof(DWORD));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
for (i = 0; i < ntr; i++)
for (j = 0; j < (DWORD)type; j++)
{
DWORD out = tr[i][j];
Out.write((const char*)&out,sizeof(DWORD));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
}
for (i = 0; i < CountBn; i++)
for (j = 0; j < (DWORD)type1; j++)
{
DWORD out = Bounds[i][j];
Out.write((const char*)&out,sizeof(DWORD));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
}
{
//*********************
// Create Links
printf("Create links...\r");
Vector Link(n),
Size(n);
Matrix Links(n,n);
DWORD Count;
int type = CurrentType;
for (DWORD i = 0; i < n; i++)
{
for (DWORD j = 0; j < ntr; j++)
for (DWORD k = 0; k < (DWORD)type; k++)
if (tr[j][k] == i)
for (DWORD m = 0; m < (DWORD)type; m++) Link[tr[j][m]] = 1;
Count = 0;
for (DWORD m = 0; m < n; m++)
if (Link[m]) Count++;
Size[i] = Count;
Count = 0;
for (DWORD m = 0; m < n; m++)
if (Link[m])
Links[i][Count++] = m;
//Set zero
Link.ReSize(n);
}
// Output
//*********************
for (DWORD i = 0; i < n; i++)
{
DWORD Sz = Size[i];
Out.write((const char*)&Sz,sizeof(DWORD));
for (DWORD j = 0; j < Sz; j++)
Out.write((const char*)&(Links[i][j]),sizeof(DWORD));
}
//*********************
}
printf(" \r");
printf("Points: %ld\n",n);
printf("FE: %ld\n",ntr);
Out.close();
return false;
}
bool Test(DWORD* a,DWORD* b)
{
bool result;
int 
